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| +++ Erfüllungsrelation |
+++ Erfüllungsrelation |
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|[ P(t1, ..., tn ) ]| _ { I, alpha } = true gdw. |
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( |[t_1]|_{ I, alpha } .... |[ t_n ]| _ { I, alpha } ) (- P_I |
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|[ FORALL x F ]| _ { I, alpha } = true gdw |[ F ]| _ {I, alpha}_{ x / alpha } = true für jedes alpha (- U |
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|[ EXISTS x F ]| _ { I, alpha } = true gdw |[ F ]| _ {I, alpha}_{x / alpha } = true für mindestens ein alpha (- U |
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Terminiert bei unentscheidlicher Domain möglicherweise nicht! (Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik). |
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+++ Semantische Äquivalenzen |
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++++ "!DeMorgan für Quantoren" |
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1.1 NOT FORALL x F equiv EXISTS x NOT F |
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1.2 NOT EXISTS x F equiv FORALL x NOT F |
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2.1 ( FORALL x F) AND ( FORALL x G ) equiv FORALL x ( F AND G ) |
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2.2 ( EXISTS x F) OR ( EXISTS x G ) equiv EXISTS x ( F OR G) |
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++++ Vertauschen gleicher Quantoren |
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3.1 FORALL x FORALL y F equiv FORALL y FORALL x F |
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3.2 EXISTS x EXISTS y F equiv EXISTS y EXISTS x F |
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+++ Semantische Nicht-Äquivalenzen |
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(hier war Prof. Egly zu schnell für mich...) |
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+++ Delphin im Karpfenteich |
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Delphin / Fisch / Teichbaden, usw. Dieses Beispiel haben wir ausgelassen. |
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+++ Inferenz Beispiele |
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Hasen haben lange Ohren |
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Max ist ein Hase |
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_________________ |
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? Max hat lange Ohren |
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FORALL x Hase(x) => hat_lange_Ohren(x) |
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Hase (Max) |
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_________________ |
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: ? |
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_________________ |
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hat_lange_Ohren(Max) |
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+++ Inferenzregeln |
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++++ Modus ponems / tollens |
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Siehe Aussagenlogik |
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++++ AND Einführung |
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F, G |
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____ |
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F AND G |
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++++ AND Elimination |
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F AND G |
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______ |
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F |
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++++ FORALL Instantiierung |
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**wichtig!** |
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FORALL x F |
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________ |
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F [ x / t ] |
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++++ EXISTS Instantiierung |
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EXISTS x F (für min. ein x bewiesen) |
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_______ |
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F [ x / C neu ] |
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(C neu muss neu rein!, siehe Sequentialkalkül: Eigenvariable. Sollte eigentlich Eigenkonstante heißen, jedoch bezeichnet selbst die englische Fachliteratur das Ding als Eigenvariable.) |
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+++ Beispiele |
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++++ FORALL Instantiierung |
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FORALL x grandfrather(father_of(mother_of(x)), x) |
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________________________ |
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grandfather(((father_of(mother_of(John)), John) |
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++++ EXISTS Instantiierung |
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(zu schnell!) |
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+++ Kalkül |
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Ein Kalkül k: |
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* ist eine Menge von Axiomen und Inferenzregeln F1, ..., Fn |- G |
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* liefert syntaktisches Gegenstück zur semantischen Folgerungsrelation |= |
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* ist korrekt gdw F |- G impliziert F |= G |
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* ist vollständig gdw F |= G impliziert F |- G |
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Korrekt und Vollständig (unser Ziel): |
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** |= equiv |- |
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Axiome sequentielles Kalkül: Aus Formel folgt Formel |
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Alles semantisch Beweisbare müßte auch syntaktisch beweisbar sein (und umgekehrt) |
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++++ Normalformeln |
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Sollten wir mal gehört haben (184/2), sind aber nicht Teil des Stoffs. Umkehrfunktion / Resolution. |
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++ DescriptionLogics |
PraedikatenLogik
